Главная страница сайта «Диалог XXI век»

Главная страница сайта congress2008

Главная страница сайта congress2013

Главная страница сайта

congress2018

Написать автору

amk789@yandex.ru

Доклады по алфавиту участников

Доклады по секциям,симпозиумам, круглым столам конгресса

 

 

 

 

логотип.jpg

banner1.jpg

пекин.jpg

 

 

 

 

Section:  77. Philosophy of mathematics

Aleksandr Maklakov, Kazan, Russia

Александр Маклаков, Казань, Россия

ОНТОЛОГИЯ И МАТЕМАТИКА

Ontology and mathematics

 

Abstract

 

Рассматривается проблема кризиса оснований математики. Устанавливается, что источником кризиса оснований математики является потеря исходной полноты структуры самой Реальности. Выдвигается новое направление в исследовании природы оснований математики, получившее название Онтологизм. Базой Онтологизма становятся структуры,  появляющиеся в результате разрешения Проблемы Начала. Задачей Онтологизма является построение новых исходных математических единиц (структур), сохраняющих полноту Реальности от Воображаемой Алгебры, Воображаемой Логики, и Воображаемой Геометрии. Соответственно, новая математическая структура имеет алгебраическую и логико-геометрическую составляющую в виде исходных операций, и исходных логических и геометрических отношений.

Предварительно проведен методологический анализ существующей математики на предмет поиска в ней следов исходных онтологических структур. В ходе этого выявлены, например, следующие обстоятельства: пустое множество в теории множеств не является техническим приемом, а представляет своего рода след онтологического Ничто (Вечного, Движения, Сущности); такую же нагрузку несет бесконечно малое в мат. анализе, и понятие неразрешимой задачи (невычислимой функции) в теории алгоритмов; проблематика теории множеств находится в плоскости конечное-бесконечное, и близка философскому вопросу бытия-небытия, который также не выводит к сущностному измерению Реальности, а лишь расширяет границы бытия небытием; Онтологизм же приводит к новой постановке проблемы Непрерывного-Дискретного.

Выявляя структуру математики, Онтологизм проясняет вопрос соотношения математики и логики. Логика в структуре математики находится между алгеброй и геометрией, будучи онтологически ближе к геометрии, чем к алгебре. Вместе с геометрией логика обеспечивает полноту математического существования, в то время как алгебра представляет собой сущностное измерение математической реальности.

 

Keywords: Онтология, Математика, Онтологизм, Воображаемая Алгебра, Воображаемая Геометрия, Исходная Математическая Единица.

 

 

 

 

 

 

ОНТОЛОГИЯ И МАТЕМАТИКА

 

1.  Кризис оснований математики и Курт Гедель

 

Господство позитивизма в современной науке, программа построения которой фактически была заложена Аристотелем, приводит к тому, что вопрос оснований возникает, когда здание научной теории уже отстроено, и неожиданно начинает рушится, то есть в момент кризиса. Современная физика, находясь в эпицентре науки со времен открытия квантовой физики, практически подошла к порогу своих методологических возможностей - новые теоретические модели уже не могут быть проверены экспериментальным путем. В связи с этим принципы построения таких математических моделей неминуемо должны выйти на передний план, как и основания самой математики. Физика еще не столкнулась в полной мере с кризисом, подобным кризису оснований математики. Мы утверждаем, что проблемы экспериментальной физики обусловлены не техническими ограничениями, а принципиальной ограниченностью экспериментальной науки, как таковой. Ограниченность эксперимента умственного, то есть логического доказательства, была установлена средствами самой математики – речь идет о теоремах Курта Геделя [1] о неполноте. 1-я теорема указывает на разрыв между истинными и доказуемыми математическими утверждениями, разрыв между мыслью и языком. 2-я теорема устанавливает, что оставаясь в рамках формально-логических систем, мы никогда не будем уверены в достоверности математического знания. Открытие этих теорем подорвало лидирующую программу формализма, и открыло горизонт для поиска новых, недедуктивных оснований математики, предпосылкой для которых стала теория моделей.  Наша работа ведется в этом же ключе.

Основные направления в основаниях математики – логицизм, формализм, интуиционизм и теоретико-множественное направление сформировались в ходе 3-его кризиса ее оснований, на рубеже 19-20 вв. На завершающем этапе процесса арифметизации мат. анализа возник логицизм, в основе которого лежит та же идея редукционизма, нашедшая здесь продолжение в стремлении свести арифметику к логике, и представить тем самым всю математику в виде грандиозной логической тавтологии. Истоки программы формализма обнаруживаются в стремлении обосновать неевклидовы геометрии их логической непротиворечивостью, и затем использовать непротиворечивость в качестве единственного критерия существования математических объектов. И несмотря на открытые в дальнейшем, так называемые  ограничительные теоремы, самыми важными из которых являются упомянутые теоремы Геделя, установившие ряд принципиальных ограничений в применении аксиоматического метода, последний успел стать стандартом, “высоким стилем” изложения математических теорий, а онтологический нигилизм, пренебрежение вопросами сущности математических объектов – своего рода “хорошим тоном” математики. Как реакция на преобладание формально-логических методов в математике появился интуиционизм, который апеллирует к интуитивной наглядности натурального ряда и конструктивных методов математического построения. Теоретико-множественное направление не всегда выделяется в качестве самостоятельного. На ранних этапах оно перемежается с логицизмом, затем, на этапе аксиоматизации – с формализмом, однако всегда можно проследить, как основную идею этого направления, утверждающую, что в основаниях математики лежат теоретико-множественные представления о конечном и бесконечном, так и обнаружить апологетов этой идеи – Кантора, Цермело, Геделя, группу Бурбаки. Здесь характерна фигура Геделя, который не смотря на собственное доказательство невозможности построения полной и непротиворечивой системы аксиом теории множеств, продолжал заниматься поиском новых, интуитивно приемлемых аксиом, которые помогли бы разрешить спорные утверждения теории множеств, такие как аксиома выбора и гипотеза континуума. “Платонический” заряд, данный Кантором, хотя теория в ее начальном виде получила название “наивной”, оказался, пожалуй, самым жизнеспособным, и фактически это направление пережило все остальные. Сильный удар ему нанесли открытия Пола Коэна [2], доказавшего независимость гипотезы континуума и аксиомы выбора от основных аксиом теории множеств, что подорвало “платоническую” веру в единственность теории множеств, и во многом спровоцировало развал группы Бурбаки, проделавшей колоссальную работу в обосновании существующих разделов математики с помощью теории множеств.

После теорем Геделя споры между направлениями постепенно затухают в виду обнажения непрочности позиций противоборствующих сторон. Неразрешенность 3-его кризиса оснований математики закономерно привела к доминированию так называемого нефундаменталистского, социокультурного направления, в котором вопрос оснований изначально не ставится. Математику здесь пытаются перенести из сферы науки в сферу культуры, релятивизировать ее по отношению к языковым, историческим, психологическим, когнитивным, и даже этническим особенностям. Но если у математики нет прочных оснований, почему она считается идеалом строгости, и, согласно афоризму Канта, мерой научности других наук.

Можно констатировать, что со времен Кантора, Рассела, Брауэра и Гильберта вопрос оснований математики практически не сдвинулся с места. Самое значимое событие с тех времен – появление теории категорий, явление безусловно интересное, смещающее центр математической проблематики от множества к функции, от объекта к морфизму, но тем не менее, вряд ли имеющее такое же значение, какое имела теория множеств, тем более что теория категорий не свободна в своих основах от теоретико-множественных понятий. Современные же течения в философии математики, такие как операционализм или квазиэмпиризм практически не имеют внутриматематического применения, и по большей части занимают созерцательную позицию по отношению к действительной математике, являясь не столько направлениями в философии математики,  сколько отростками общеметодологических ветвей современной эпистемологии.

 

2.  Онтология и Онтологизм

 

С наших позиций источник кризиса математики кроется в попытках обосновать математические объекты и истинность утверждений о них некоторой “реальностью”, не имея строгого понимания о том, что такое реальность, предполагая ее самоочевидность, и смешивая реальность с существованием. Мы разрабатываем новое направление в основаниях математики – Онтологизм, в основу которого ложится Онтология, как модель самой Реальности. Центральная идея Онтологии – наличие единой структуры, пронизывающей каждую природную единицу, каждую сферу человеческой деятельности, в том числе и математику, что дает монистическое видение Реальности. Отмечу, что данные разработки ведутся в рамках методологии от стратегии Динамизма [3], представляющей альтернативу стратегии устойчивого развития.

Онтология оперирует особым инструментарием – онтологическими единицами, структура которых раскрывается через онтологические формулы, и онтологические синонимы, приведение ряда которых позволяет описать исследуемую ситуацию со стороны различных ее аспектов, и избежать спекулятивности традиционных философских понятий, категорий, концептов.

В качестве исходного вопроса Онтологии выступает Проблема Начала, имеющая структуру Прямой и Обратной задачи.

Прямая Задача –  Проблема Начала – Обратная Задача

Разрешением этих задач становится Реальность (Абсолют, Естество), как сопряженность двух измерений – Сущности и Существования. Сущность появляется как решение Прямой Задачи, Существование – как решение Обратной. Привожу ряд онтологических формул, описывающих Реальность через онтологические синонимы Сущности и Существования.

 

Сущность       

Движение     

Творец           

Единое

Ничто

Ритм             

Вечное           

Метод           

Волна

Процесс

Достаточное

Непрерывное

    

 

 

 

Реальность

(Абсолют,

Естество)

Существование

Природа

Сотворенное

Единичное

Всё (Многообразие)

Миг (Темп)

Конечное

Система

Траектория

Состояние

Необходимое

Дискретное

 

Онтологическая формула состоит из 3 частей: в середине – исследуемая ситуация, слева – сущностное измерение данной ситуации, справа – ее проявление в сфере существования. Слова, имеющие онтологическую нагрузку, выделяются заглавной буквой.

В качестве базовой формулы для Реальности, как правило, используется

Движение – Реальность – Природа

Природа (сфера Существования) имеет свою собственную Сущность – Развитие (Эволюция), и собственное Существование – Пространство (Гармония, Гравитация), что отражается в соответствующей формуле:

Развитие – Природа – Пространство (Гармония, Гравитация)

Далее, при объединении 2 базовых формул, Реальность предстает в виде троичной структуры:

Движение ~ Развитие – Пространство

Данную структуры в свернутом виде можно записать так:

Дух         ~   Душа –       Тело

Под “свернутым” понимается ленинское “звено цепи, взявшись за которое можно вытащить всю цепь”, то есть развернуть всю структуру, это онтологическое понятие родственно алгебраическому гомоморфизму. Т.е. Тело – это свернутое Пространство – не случайно Лобачевский в качестве единственного неопределяемого геометрического понятия использовал геометрическое тело. Душа – это свернутое Развитие, а Дух – свернутое Движение. Это позволяет говорить о Духе, Душе и Теле, как об определенных структурных элементах Реальности, присутствующих в каждой Природной Единице.

Принципиально, что Развитие и Пространство относятся к сфере Существования, в отличие от Движения, которое представляет собой сущностное измерение Реальности. Также принципиальным моментом является отличие Движения от Развития, которые часто смешиваются, как смешиваются Душа и Дух. Развитие – совершенствование в рамках уже достигнутого состояния, внутри системы, структура вторичная по отношению к Движению. Движение же обеспечивает принципиальное обновление, волновой переход из одного Состояния в другое. Пространство в структуре Природы является объединяющим началом ее многообразия, что на физическом плане проявляется как Гравитация. Присутствие Пространства позволяет зафиксировать, «заморозить» Движение внутри Природы, как Развитие, как точки на Траектории, как кванты энергии. Разработка проблемы Движения – главное направление исследований стратегии динамизма, откуда и происходит ее название, на этом пути раскрывается волновая природа Движения, и выявляется его структура. Движение для земной цивилизации проявляется как естественно-исторический процесс, для человека – как его творческое начало, на квантовом уровне – как волновая сущность частиц, в математике Движение проявляется через алгебраические операции.

Каждый из 3 структурных элементов Реальности имеет свою собственную структуру, состоящую из 4 моментов, каждый из которых несет особую онтологическую нагрузку в соответствующем элементе. Следы этих моментов можно обнаружить, например, в Платоновском учении о 4 стихиях (огонь, воздух, вода и земля). Полная 12-элементная структура выглядит так:

 

Реальность (Абсолют, Естество)

 

Движение

Развитие

Пространство

1

Отражение-след

Небытие

Гравитационность

2

Опережающее отражение

Среда

Вселенскость

3

Взаимодействие

Причинность

Гравитация

4

Единство

Инерция

Субстанция

 

Можно показать, что данная структура присутствует в каждой Природной Единице, будь то фотон, атом, кристалл, растение, животное, человек, цивилизация, звезда, вселенная.

При переносе на Цивилизацию (Историческую Единицу) получается следующая структура:

Естественно-истор. Процесс – Цивилизация – Система Цивилизации

Общественная Система – Система Цивилизации – Государство

 

Цивилизация

 

Естественно-истор. Процесс

(Основания Цивилизации)

Общественная Система

Государство

1

Философия

Идеология

Столица

2

Наука

Политика

Госструктуры

3

Техника

Экономика

Этнос

4

Искусство

Культура

Регион

 

Онтологическая функция Науки, как 2-ого момента в структуре Естественно-исторического Процесса, заключается в обновлении Цивилизации. При переносе на Науку исходная онтологическая структура приобретает вид:

Основания Науки (Исходные исслед. прог-мы)–Наука – Эволюционизм Науки

Образовательные программы – Эволюц-зм Науки – Прикладные программы

 

Наука

1 Математика

 

Исходные Исследовательские   программы (ИИП)

 

Образовательные программы (ОП)

 

Прикладные программы (ПП)

2 Физика

3 Химия

4 Биология

 

3 структурных элемента Науки – ИИП, ОП и ПП, каждая из программ действует в Математике, Физике,  Химии и Биологии, таким образом возникает классификация естественных наук. Гуманитарные (общественные) науки не входят в структуру Естественно-исторического Процесса (Оснований Цивилизации), и, соответственно не несут непосредственную онтологическую нагрузку Науки, то есть не участвуют в обновлении Цивилизации, они представляют науку внутри различных сфер Системы Цивилизации  - внутри Культуры, Идеологии, Политики, Экономики (на каждую из этих сфер также может быть перенесена общая структура Цивилизации).

ИИП - это программы, задающие принципиально новые направления, как правило, идущие вопреки сложившимся теоретическим стереотипам, и несущие обновление самих оснований Науки. ИИП не сводятся к тому, что принято называть фундаментальной наукой, основная сфера действия которой не выходит за рамки Эволюционизма Науки. Из формул следует, что состояние Образования сопряжено, и определяется прежде всего ИИП в естественных науках. Если ИИП не запущены, отсутствуют научные школы, образовательные институты неминуемо деградируют, и тут не помогут никакие рейтинги, уровни цитирования, и даже избыточное финансирование. Подлинный научный центр должен гармонично сочетать все три элемента – исследовательский, образовательный и прикладной.

При построении Науки, коррелированной с Онтологией, основным критерием научной строгости становится не физический эксперимент, и не логическое доказательство, а сохранение полноты онтологической структуры при каждом переходе. Это требование получило название Онтологического Императива [3].

Математика, как ИИП занимает такое же место в Науке, как Философия в структуре цивилизации. Ее основная задача – построение моделей для всех остальных наук, в то время как Философия должна обеспечивать построение исходных моделей для всех сфер земной цивилизации. Математика – онтологическое зерно Науки,  необходимая предпосылка всякой научной мысли и теории, в Математике же отражается весь осуществленный научный опыт.

Далее переходим к онтологической структуре самой Математики.

Прямая Мат-ка (Вообр-ая Алгебра) – Математика – Обратная Мат-ка

Вообр-ая Логика – Обратная Математика –  Вообр-ая Геометрия

Таким образом, получаем 3 структурных элемента Математики:

Воображаемая Алгебра ~ Воображаемая Логика – Вообр-ая Геометрия

Наброски к созданию Воображаемой Логики были сделаны казанским логиком Н. А. Васильевым. Воображаемая Геометрия уже создана казанским исходным творцом Н.И. Лобачевским, тем самым решена Обратная задача оснований Математики. Слова Лобачевского: “В природе мы познаем собственно только движение, без которого чувственные впечатления невозможны” [4] позволяют говорить, что Лобачевский строил свою Геометрию, ощущая онтологическую суть Движения. Теперь же предстоит решить Прямую задачу  - математически ‘схватить’ само Движение, и построить Воображаемую Алгебру, сопряженную с Воображаемой Геометрией, в этом состоит основная задача, которую ставит перед собой Онтологизм. Геометрия Лобачевского была в итоге признана научным сообществом, но лишь в качестве вариации системы аксиом, но отнюдь не как математически точное  описание природы Пространства. Она послужила толчком развитию формализма, но не поиску онтологических оснований Математики. Воображаемая Геометрия фактически нигде не применяется, и ее недееспособность обусловлена именно отсутствием Воображаемой Алгебры. Сходная ситуация с неклассическими логиками – новые логики создаются, изучаются, но остаются в сфере логики, и практически не применяются в математике.

Базовая формула, задающая троичную структуру математики, проясняет вопрос соотношения математики и логики. Логика - это часть математики, находящаяся между алгеброй и геометрией, онтологически более близкая к геометрии. Геометрия и логика вместе обеспечивают полноту математического существования, геометрия со стороны пространства всех миров (космического пространства),  а логика – со стороны сознания. Логика – душа математики, геометрия – тело математики, в то время как алгебра представляет сущностное измерение, дух математики. Логика является отражением алгебры в сфере существования, между алгеброй и логикой такое же соотношение как между Движением и Развитием.

Характерно, что  первая аксиоматика геометрии появилась еще в древнегреческий период (“Начала” Евклида), а аксиоматика арифметики впервые была построена Пеано только в конце 19в., т.е. арифметика и алгебра долгое время обходились без формализации. Аксиомы геометрии обладают свойством полноты, в то время как на арифметику и большинство алгебраических структур распространяется действие 1-й теоремы Геделя. Это свидетельствует о глубокой связи аксиоматического метода с геометрией, но не с алгеброй.

Таким образом, отвечая на вопрос, что такое Математика, Онтологизм дает ее структуру, и указывает ее положение в общей структуре Науки. Математическую истину обеспечивает Воображаемая Алгебра. Именно ее отсутствие обуславливает размытость вопроса математической истины в рассмотренных ранее подходах. Так же в них провисает вопрос реальности математических объектов, так как реальность отождествляется с Существованием. В Онтологизме реален тот мат. объект, который удовлетворяет онтологическому императиву, т.е. сохраняет полноту Воображаемой Алгебры, Логики и Геометрии.

 

3.   История математики: взгляд Онтологизма

 

Укоренившийся ход земной истории, а именно господство дуалистической традиции [3], позволяет задействовать только структуры в сфере Существования,  то есть работает только 2-я базовая формула (определяющая структуру Существования), подменяя общую структуру Реальности. В математике оказывается задействована только Обратная Математика, то есть логика и геометрия, отношения между которыми приобретают характер противоречия. История математики – это, прежде всего, история колебаний маятника от логики к геометрии и обратно. Алгебра при этом остается в стороне, сливаясь с логикой, особенно в представлении esprit de geometrie (геометрического ума в терминологии Паскаля), это слияние родственно уже упомянутому неразличению Движения и Развития. Противоречие же разворачивается между умозрительной логической строгостью и наглядностью геометрических построений (отражающих прикладной аспект математики), между анализом и синтезом в терминологии Лобачевского [4], и имеет ту же природу, что и противоречие между рационализмом и эмпиризмом в философии, и родственно корпускулярно-волновому дуализму в физике. Чрезмерная апелляция к геометрической очевидности приводит математику к потере строгости, что наблюдалось в мат. анализе вплоть до начала 19в, когда основные понятия дифференциального и интегрального исчисления не отделялись от механико-геометрических представлений, что привело ко 2-ому кризису оснований. Обратная ситуация – потеря связи с геометрией ведет к своего рода  синдрому аутизма в математике.  Разрешением 2-ого кризиса стала арифметизация мат. анализа, и наступление аксиоматического метода, то есть разворот в сторону логики, который спровоцировал в свою очередь 3-й кризис. Против засилья логико-формальных методов, отстаивая значение геометрической интуиции, выступали ранние интуиционисты. Брауэр рассматривал геометрический континуум в качестве объекта изначальной интуиции, наряду с натуральным рядом. Он же утверждал принципиальную невозможность формализации математических  методов,  фактически то же самое, что позднее строго показал Гедель. Однако в дальнейшем, подчинившись общему тренду, интуиционизм пошел по пути формализации – возникла интуиционистская логика, а затем теория алгоритмов, интуиционизм сделал конструктивный поворот. Конструктивизм в отличие от классического интуиционизма ограничивает сферу применения абстракции потенциальной бесконечности, мысленного эксперимента, и возможностей эффективного построения объекта теми рамками, которые поддаются строгой формализации. Сходная ситуация с теоретико-множественным направлением, которое под влиянием формализма совершило аксиоматический поворот. Таким образом, все   направления в основаниях получили логический примат, фактически обозначив различные логические концепции математики, а скорее даже став различными разделами математической логики.

После теорем Геделя наметился разворот в сторону геометризации, в сторону прикладных исследований, математического эмпиризма. Об этом свидетельствует появление либеральных версий формализма, экспансия социокультурного направления, декларирующего неформальное понимание математики, а также преобладание престижных премий по математике в области топологии и геометрии. Характерно появление термина “пангеометризм” в работе В. А. Шапошникова [5], рассматривающего понятийно-логичный аспект математики как квазигеометрический, то есть вторичный по отношению к непосредственно геометрическому, образному аспекту. Таким образом, усомнившись в непогрешимости логики, математика вновь бросается в объятия к верной геометрии. Любопытно, что основатель логицизма, Фреге, разочаровавшись в собственной программе, не признал теорию типов Рассела в качестве решения проблемы парадоксов, и в позднейших работах утверждал, что “математика проистекает из собственного внелогического источника – геометрической наглядности” [6].

Особняком в этом процессе раскачивания маятника логико-геометрического дуализма стоит теория моделей, появление которой наметило новый разрез в изучении оснований математики – модельно-алгебраическим подход против дедуктивно-логического. Однако, природа существующего такова, что выход к сущностным измерениям Реальности происходит в лучшем случае как запрос, который вскоре попадает под пресс существующего, и интерпретируется на его лад. Теория моделей, например, иногда рассматривается как часть теории множеств, или заключается в рамки гильбертовского формализма. Геометрия Лобачевского получила признание только после того, как были найдены ее интерпретации на объектах евклидовой геометрии, несмотря на то, что ее логическая непротиворечивость относительно евклидовой геометрии фактически уже была установлена самим Лобачевским с помощью методов тригонометрии. Другой характерный пример дает история квантовый физики. Концепция волна-пилот Луи Де Бройля возникла как запрос к сущностному измерению физической Реальности, однако, не получив достаточное математическое обоснование, эта теория была отвергнута, и окончательно принята вероятностная трактовка квантовых явлений, заталкивающая их в узкое горлышко существующего аппарата теоретической физики, существующих вариационных принципов. Замечу, что разрешение проблемы корпускулярно-волнового дуализма и квантовой неопределенности предлагается в проекте траекторно-волновой физики, разработанной с помощью методологии от упомянутой выше стратегии Динамизма [7].

 

4.   Исходные онтологические структуры в существующей математике

 

Как следует из базовой формулы, математическая теория приобретает живость и полноту при наличии алгебраического и логико-геометрического измерений. Можно попытаться показать структуру существующей математики, выделив разделы, находящиеся на их стыке, соответствующие 4 моментам онтологической структуры. Этим же 4 моментам можно сопоставить 4 основных направления в основаниях. Наши исследования в различных сферах позволяют сформулировать общий принцип, согласно которому в отсутствии исходной Онтологии возникающие направления оказываются связаны с одним из 4 моментов исходной онтологической структуры. Структура  существующей математики:

 

 

Раздел на стыке алгебры, логики и геометрии

Направление в основаниях

Раздел

Логики

Раздел геометрия

1

 

 

 

 

 

Алгебра

теория моделей

 

Формализм

воображаемая логика Васильева

геометрия Лобачевского

 

2

теория множеств

теоретико-множественный подход

логика высших порядков

 

топология

3

теория алгоритмов

интуиционизм

 

интуиционистская логика

 

проективная геометрия

 

4

мат. анализ

логицизм

исчисление предикатов

евклидова геометрия

 

В качестве разделов на стыке мы выделяем теорию моделей, теорию множеств, теорию алгоритмов, и мат. анализ. С ними связаны формализм, теоретико-множественное направление, интуиционизм и логицизм. Также в таблице показана связь этих разделов и направлений с существующими разделами геометрии и логики. Далее приведена таблица с результатами методологического анализа четырех разделов на предмет поиска в них следов исходных онтологических структур.

 

 

алгебраическое начало

основные объекты

логическое

начало

геометричес-

кое начало

1

операции

Алгебраическая система

аксиомы

отношения

 

2

пустое

множество

Множество

аксиоматика

теории множеств

бесконечность

 

3

невычислимое

Задача

формальные модели алгоритма

перечислимое множество

 

 

4

ряд Фурье

 

Функция

аналитическая формула

график функции

бесконечно малое

Действительное число

арифметич. модели континуума

числовая ось

 

 

Отметим прежде всего следующие выявленные обстоятельства:

1) Пустое множество в теории множеств – след онтологического Ничто (Вечного, Движения). Характерно, что пустое множество, будучи основой построения всех множеств в теории множеств, остается в тени обсуждений, по мнению большинства математиков являясь чисто техническим средством. Такую же нагрузку несет бесконечно малое в мат. анализе, и понятие неразрешимой задачи (невычислимой функции) в теории алгоритмов.

2) Бесконечность – попытка осмыслить онтологическое Пространство (Всё).  Бесконечность играет ключевую роль в теории множеств, и ей же обусловлены проблемы этой теории, поскольку бесконечность не выражает в полной мере онтологической природы Пространства. Проблематика теории множеств находится в плоскости конечное-бесконечное, и близка философскому вопросу бытия-небытия, который также не выводит за рамки бытия (Существования), а лишь расширяет границы бытия небытием. Онтология же приводит к вопросу Вечного-Конечного, что в переносе на математику приводит к проблеме Непрерывного-Дискретного.

 

5. Теория моделей и Воображаемая Алгебра

 

После того, как Гедель установил, что логическое доказательство является плохим помощником в поисках математических истин, открылся путь к нахождению более эффективного метода. Открытия Геделя, спровоцировали появление нового раздела математики – теории моделей, которая является попыткой выйти к пониманию истинности, минуя доказательство. Именно теория моделей может стать предпосылкой появления Воображаемой Алгебры. В существующих алгебраических системах структура  состоит из операций (функций) и отношений (предикатов), и хотя функции можно свести к предикатам, это – попытка схватить алгебраическую и логико-геометрическую составляющие математических единиц.

Задача Онтологизма – построение новых исходных математических единиц (чисел, структур), сохраняющих полноту Реальности, заложенной в Онтологии. Исходная математическая единица (ИМЕ) имеет алгебраическую, логическую, и геометрическую составляющие:

Исходные Операции  – Исходная мат. единица – Исходные Отношения

Логические Отношения – Исходные Отношения – Геом-ие Отношения

    Отсюда получаем троичную структуру ИМЕ:        

Исходные Операции ~ Логические Отношения – Геом-ие Отношения

Наши исследования воображаемой геометрии и логики позволили выявить приблизительную структуру логических и геометрических отношений. Теперь же предстоит построить Воображаемую Алгебру, задав 4 исходные операции, для которых мы пока сохраняем традиционные названия. Также необходима новая постановка проблемы Непрерывного-Дискретного, в которой Непрерывное приобретает собственный алгебраический, а не геометрический смысл, отражающий понимание Движения, как Волны, а не как совокупности точек Траектории.

Гипотетическая 12-элементная структура ИМЕ:                  

 

 

Исходные операции

            Исходные отношения  

Логические

Геометрические

1

Умножение

Функция к аргументу

Параллельность

 

2

Деление

Принадлежность

Прикосновение

Инцидентность

3

Вычитание

Часть к целому

Порядок

Логическое следование

Проекция

Отношение “между”

4

Сложение

Эквивалентность

Конгруэнтность

 

Следует сказать, что подобная структура уже создавалась в прошлом в одном из очагов Онтологии. Речь идет о школе Пифагора, и о его Числах, утерянных с гибелью Пифагора, и дошедших до нас в виде разрозненных осколков, утративших мощь заложенной в них Онтологии – это и теория чисел, и имеющая мистический характер, нумерология,  а также и математический платонизм, сопровождающий всю историю математики.

 

Литература

1.     Хинтикка Я. О Геделе. М., 2014.

2.        Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1969.

3.        Валишин Ф.Т. Проблема Начала и Стратегия Динамизма. М., 2018.

4.     Лобачевский Н.И. Полн. собр. соч., М., 1949, т.2.

5.     Шапошников В. А. Математическая мифология и пангеометризм // Стили в математике. СПб., 1999.

6.     Бирюков В.В., Бирюкова Л.Т., Нуцубидзе Н.Н. Математика и логика: проблема соотношения двух наук в истории логико-математической мысли // Закономерности развития современной математики. М., 1987.

7.     Валишин Н.Т., Валишин Ф.Т. К вопросу о природе неопределенности в квантовой физике (к физической постановке проблемы управляемости) // Новейшие проблемы теории поля, Казань, 2000.

 

 

 

 

 

Вернуться к началу страницы