Сайт "Диалог XXI век"

Главная страница сайта congress2008

Секции конгресса

Список российских участников

Доклады по алфавиту участников

Доклады по секциям,симпозиумам, круглым столам конгресса

 

 

Секция “Теория знания”

 

ФИЛОСОФСКАЯ ИСТИНА В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕРМИНАХ

И ЛИТЕРАТУРНЫХ АНАЛОГИЯХ

 

Русский                      English

Тайсина Эмилия Анваровна

 

Д.ф.н., профессор

Казанский государственный энергетический университет.

Emily_Tajsin@inbox.ru

 

 

 

 

 

Webster’s Seventh New Collegiate Dictionary. Springfield, Mass., USA.

Truth – [ME trouthe, fr. OE trēowth, fidelity; akin to OE trēowe, faithful]; True – [ME trewe, fr. OE trēowe, faithful; akin to OHG gitriuwi, faithful; Skt dāruna, hard; dāru, wood]; Tree – [ME, fr. OE trēow; akin to ON trē, tree, Gk drys, Skt dāru, wood]…

 

 

 

Общеизвестно, но можно напомнить: философия и математика являются двумя колоссальными абстракциями от природы, одинаковой, предельной, высоты. Попытавшись разобраться в качествах истины и подтвердив, что она должна как-то приближаться к реальности и в перспективе совпасть с ней, попробуем подобраться к ней с количественной стороны. Я усматриваю такую возможность в применении математического учения о рядах, причем наибольшее значение имеют понятия «сходимости» – приближения к… и «гармонического ряда». (Более грубой аналогией является «военный» пример наведения снаряда на цель и так называемая пристрелочная вилка: «недолет–перелет–цель»). Используем специальную литературу.[1]

Пусть дана последовательность чисел U1, U2, U3,… Un,…

Будем складывать их в данном порядке.

S1 = U1  – первая частичная сумма ряда

S2 = U1+U2  – вторая частичная сумма ряда

S3 = U1+U2+U3  – третья частичная сумма ряда

Sn = U1+U2+U3+… Un  – частичная сумма ряда

Процесс составления этой последовательности обозначается первым выражением и называется бесконечным рядом или, короче, рядом. U1, U2, U3…, Un  – члены ряда. Un  – общий член ряда.

<!Это очень важно для теории познания, логики, семиотики. Фактически здесь просто описывается так называемое обобщение семантического треугольника –«треугольника Фреге» – путем сближения сторон! Но это так, в скобках.–Э.Т.>

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел. Этот предел называется суммой сходящегося ряда.  Ряд

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + (1/2)n+1 + … – сходящийся, ибо последовательность

S1 = 1,  S2 = 11/2,  S3 = 13/4, … Sn = 2-(1/2)n-1, …   имеет предел, равный 2:

                                      limSn = 2 (сумма ряда) при  n →∞

Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, то ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд не имеет суммы (в установленном смысле). Ряд  1 + 2 + 3 + 4 + … + n +… – расходящийся, ибо последовательность его частичных сумм  S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, … Sn = n(n+1)/2, … имеет бесконечный предел.

Когда последовательность не имеет никакого предела, расходящийся ряд называется неопределенным:   1 – 1 + 1 – 1… + (–1)n+1 + …

Необходимое (но недостаточное) условие сходимости ряда:

ряд  U1 + U2 + U3   + Un + …  может сходиться лишь в том случае, когда член Un  – (общий член ряда) – стремится к нулю:  lim Un = 0  при  n →∞

Если общий член Un не стремится к нулю, то ряд расходится:

ряд  1 – 1 + 1 – 1 +… заведомо расходится (?), ибо общий член не стремится к нулю и вообще не имеет предела.

Однако, с моей точки зрения, предельно важно следующее обстоятельство: математики утверждают, что ряд, у которого общий член стремится к нулю, может расходиться, а может и сходиться. Примеры:

·  нормальный ряд:  1 + 1/2 + 1/4  + 1/8  + … (1/2)n–1 +  – сходится

·  гармонический ряд[2]: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … – расходится, хотя его общий член стремится к нулю; но:

·  ряд, получаемый из гармонического:  1 1/2  + 1/3 1/4 + 1/51/6 + 1/7 … – сходится (!)

Даём разъяснения. Т. наз. гармонический ряд 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +… расходится, хотя его общий член стремится к нулю. См.:

S2 = 1 + 1/2 = 3·1/2,

S4 = S2 + (1/3 + 1/4) > 1/2 + (1/4 + 1/4) = 4·1/2,

S8 = S4 + (1/5 + 1/6 + 1/7 +1/8) >1/2 + (1/8 +1/8 +1/8 +1/8 ) = 5·1/2,

S16 = S8 + (1/9 + 1/10 + … + 1/16) > 61/2    и т.д.

Мы видим, что частичная сумма неограниченно возрастает, т.е. ряд расходится.

                                           NB

Ряд 11/2 + 1/3 1/4 + 1/5 – …, (сумма 0,693… при S999, S1000), получаемый из гармонического путем перемены знака у членов с четными номерами, сходится. Он сходится! «Отойти, чтобы вернее попасть!»Э.Т.  Докажем это.

                                    11/2 + 1/3 1/4 + 1/5 1/6

Отметим на числовой оси точки, представляющие частичные суммы S1 = 1, S2 = 1/2,  S3 = 5/6,  S4 = 7/12,  S5 = 47/60,  S6 = 37/60.

                                                                             S

0________________________S2_____S4__S6__________S5___S3__________1

0,1…                                          0,5            0,6             0,693…       0,8               0,9

Каждая  из «нечетных» точек S1, S3, S5 оказывается левее предыдущей, а каждая из «четных» точек S2, S4, S6  – правее предыдущей, т.е. четные и нечетные точки движутся навстречу друг другу. Точки S2n, S2n+1  сближаются неограниченно: разность S2n+1 S2n = 1/2n+1 стремится к нулю при n →∞. Значит, как четные, так и нечетные точки стремятся к некоторой точке S (нечетные – справа, четные – слева). Следовательно, ряд имеет пределом число Истины S=0,693, т.е. сходится. Прозаический символ S здесь – знак для истины, познавательной цели, достижение коей, как свидетельствует математика, вполне возможно.

Такова наша математическая модель познания истины.

Однако математику интересует количественный, а философию качественный аспект. И в этом родство последней с художественным изображением, искусством, литературой, поэзией  по преимуществу. Великая поэзия, зачастую опережая научные построения, открывает законы истинного познания, музыкальные произведения, подобные симфониям Малера, выражают целостное философское мировоззрение гения, религиозная проповедь Оккама фиксирует тончайшую логику истины… Приведем следующий пример из художественного текста.[3] В нем речь идет о вымышленной планете под названием Тлён, на которой действительность и возможность меняются местами; но главное не это: блестящий писатель ХХ века объясняет, как именно «наводится театральный бинокль» на интересующий нас объект; как именно происходит схождение гармонического ряда, то есть приближение к истине.

«Многие века идеализма не преминули повлиять на реальность. В самых древних областях Тлёна нередки случаи удвоения потерянных предметов. Два человека ищут карандаш; первый находит и ничего не говорит; второй находит другой карандаш, не менее реальный, но более соответствующий его ожиданиям. Эти вторичные предметы называются «хрёнирами». (С. 308).

Любопытный факт: в «хрёнирах» второй и третьей степени – то есть в «хрёнирах», производных от другого «хрёна», и «хрёнирах», производных от «хрёна» «хрёна», – отмечается усиление искажений исходного «хрёна»; «хрёниры» пятой степени почти подобны ему; «хрёниры» девятой степени можно спутать со второй; а в «хрёнирах» одиннадцатой степени наблюдается чистота линий, которой нет у оригиналов. Процесс тут периодический: в «хрёне» двенадцатой степени уже наблюдается ухудшение. (С.308-309)».

Бинокль, тщательно наведенный на объект, еще при одном маленьком повороте верньера начинает отходить от истины, изображение расплывается… Чистота линии эйдоса, «хрёнира одиннадцатой степени», пропадает, линия становится полем, становится морем… Граница исчезает, тает определенность объекта, из точки «икс», с таким трудом зафиксированной, мы снова уходим в туманы бесконечности. Такова наша литературная модель познания истины.

Возьмем на себя смелость охарактеризовать истину в традиционном ключе. По природе истина идеальна. Это т.наз. абстракция изолирующая, наподобие красоты и добра. Истинность – это характеристика знания о вещи, а не самой вещи. Она есть идеальный образ, и как таковой обладает свойствами презентации и объективированности, присущими любому процессу (и результату) отражения. Идеальность – родовой признак сознания в онтологическом аспекте; в гносеологическом аспекте таковым является истинность.

Видовой дефинитивный признак истинного образа – представленность порядка существенных свойств и отношений вещи. Не-истинный образ представляет собой не-сущность; но он есть, тем не менее, презентация, подобие, отражение, взаимодействие. Существенность элементов объекта познания определяется в/на практике, «в деле». Конкретность истины должна быть объяснена не только как зависимость от условий существования данного знания, но и, в первую очередь, как зависимость от самостоятельного существования объектов. В картине универсального взаимодействия Вселенной все же не теряется существенное их свойство – не вступать (релевантно для человеческой практики и науки) в ощутимо конкретное взаимодействие с бесконечно удаленными во времени и пространстве другими объектами.

Всякое представление идеально. Истинность – человеческое измерение представленности. Это наиболее полная и совершенная, то есть содержательная характеристика познания.

Сущность истины – идеальная представленность и передача (транспортация, трансференция) порядка, т.е. следования вещей, свойств и отношений, событий и действий одного подле другого и одного после другого. Истина сочетает процессуальность и результативность с акцентом на относительно завершенном знании – устойчивой презентации. Субъективно переживаемая, истина есть чувство удовольствия от раскрытого, воспринятого, присвоенного порядка, как блаженство есть субъективно переживаемое благо.

Отступления от истины имеют разные причины и потому должны получить отдельные характеристики. Некоторые свойства истины, упоминаемые здесь, относятся и к не-истине; другие не относятся. Но в главном не-истина – не атрибут идеального (proprium, собственный признак), а его акциденция. Сознание – в общем истинный образ; сознание всесильно, потому что оно истинно, и это не трюизм.

Родовые признаки истины, следовательно, – сходство с объектом, подобие ему, что с точки зрения семиотики трактуется как (идеальная) презентация.

Мера глубины истины – это представленность раскрытой сущности. Мера «высоты» – представленность раскрытого родового признака  объекта познания; полноты – представленность раскрытых видовых признаков, вплоть до propria et accidentia. Мера строгости – изоморфизм. (Можно было бы считать «морфизм» мерой подобия, но эта часть теории еще не разработана). Идеальный (эйдетический) экземпляр истинного знания – definitia, определение. (Сюда можно Оккама добавить: Уильям Оккам (1280-1347). Избранное /ред. и вступительная статья А.В. Аполлонова/. РАН ИФ Едиториал УРСС, М.: 2002. …Я утверждаю, что понятие рода никогда не отвлекается от одного индивида. (C.113) И если ты спрашиваешь, какое абстрагированное знание первично обретается через посредство интуитивного, отвечаю: «Иногда только понятие сущего, иногда понятие рода, иногда понятие низшего вида – сообразно тому, что объект более или менее удален». (С.115) {Aliquando conceptus entis tantum, aliquando conceptus generis, aliquando conceptus speciei specialissimiae, secundum quod obiectum est magis vel minus remotum} (p.114) В случае с приближающимся издалека я могу обладать одним видением, посредством которого я сужу только о том, что это есть сущее, другим, посредством которого я сужу о том, что это есть живое существо, третьим, посредством которого я сужу о том, что это есть человек, четвертым, посредством которого я сужу о том, что это есть Сократ… (с.111))

Акцидентальные признаки истины – транспортация необходимого  или случайного, внешнего или внутреннего, очевидного и неочевидного, содержательного и формального и т.д.

Число Истины V (verum) = 0, 693

Священный год = 7·71/7·7,2275 = 361,375 =

Число Бога θ (Θέων)

Число Красоты φ = 1,618

 

Плюс (сама) Единица, ибо пифагорейцы клялись Четверицей.

Число Блага χ (χάρις) складывается из Числа Добра (Бога), Числа Истины и Числа Красоты = θ + v + φ + 1= χ.

 

Χ = 0,693 + 361,375 + 1,618  + 1 = 364,686

 

Число Блага: 364,686

 

Вопрос, следовательно, из века в век ставится следующим образом: Существует ли абсолютная истина (в чем я сомневаюсь, раз вопрошаю об этом), поскольку в существовании относительной истины я (абсолютно) убежден, ибо оно очевидно?

 

Назад в начало

 

 

 

Section “ Theory of Knowledge”

 

PHILOSOPHICAL TRUTH IN MATHEMATICAL TERMS

AND LITERATURE ANALOGIES

 

Prof. Emilia Anvarovna Taissina,

DSc in Philisophy

 

Emily_Tajsin@inbox.ru

 

 

The article is based upon the following starting position.

In this post-modern time, it seems that no scholar in Europe supports what is called “Enlightenment Project” with its naïve objectivism and Correspondence Theory of Truth[1], – though not being really hostile, just strongly skeptical about it. No old-fasioned “classical” academical texts; only His Majesty Discourse as chain of interpretations and re-interpretations. What was called objectivity “proved to be” inter-subjectivity; what was called Object (in Latin and German and Russian tradition) now is related to as a phenomenon; what was called Subject either is looked upon as Cartesian “cogito” or disappeares at all; what was called Truth turned to be either method of demonstration (by positivists) or the author’s sincerity (by existentialists); what was called Essence is now merely a joke. Alternatively, we speak about Sense, Meaning, and Value.

Leaving value alone, it seems necessary to underline that the classical Theory of Knowledge, be it materialistic (‘Locke’s paradigm’) or idealistic (‘Cartesian paradigm’), is pressed out nowadays by the so-called /relativistic/ “Theory of Understanding” with its crucial notions of Dialogue, Communication, and Interpretation instead of Subject-Object dilemma, Private Language, and Cognition. The latter syntagmatic axis is looked upon by postmodernists as some archaic gnoseological “Robinsonade”.

Within this abstract, it is offered to return to classics and to define Truth with the help of accurate science and great literature.

I argue that human consciousness, including both awareness and judgement, is always aimed at some object, and this intention has different directions of fit (“one way – but many roads”), most simply described as AC/DC. (Alternative current means here the process of  learning using signs; Direct current is a word for perception or also intuition, which  is prior to signification lift and seems immediate).

The world being absolute object can be regarded both as “given” and “taken”; it’s like in marital embrace, where when you give, you take; so “more objectivity” always means “more subjectivity”. Every concrete object of cognition can be seen as reconstructed and/or constructed in the mind. Human agent, the knower, is seeking for true knowledge, and the operation can be graphically or metaphorically described as the movement of a fan around some thing, axis or even point. It actually is a process of approximation...

The object can be metaphysically reconstructed as a multitude of parts and elements and points and their relationship; human knowledge, which can be true or false, is ideal “obtaining”, or presentation, of the object in the form of different images, abstractions, and symbols; truth is an idea of adequate knowledge; it can be modelled as a finite goal of cognition,  absolute as a steady point with most certain meaning (or even number, and that is 0,693...). “But is it true? Notwithstanding, we doubt it!”

But what is truth?

There is ancient irony in the question; as if thousands of years we’ve been asking: Does there exist such thing as Absolute Truth (which I doubt since I put the question), whereas I’m (absolutely) sure in existence of such a thing as Relative Truth – since it is evident?

But reallistically speaking, truth is an abstract image, isolating one characteristics of right (adequate) knowledge: to be “pünktlich”, accurate, precise reflection of an object of learning. This accurate knowledge is a result of intellectual work, striving to harmonize the ideal reflection and its referent, to adjust the gnoseological image to the original outer thing or quality or relation. So it is right to speak of true (or false) knowledge, coinciding and “agreeing” and coordinating and corresponding and conjoining and becoming congruent and uniting with its target object.

Which unity of course we traditionally call Truth in the great and primordeal meaning of a word.

There are philosophers who think that truth is part of Being (like Heidegger and other ontologists), and others like myself attributing it to knowledge only, so we believe in the Universe without the Knower there is no such thing or characteristics as truth. Some philosophers, in turn, think of truth as something characterizing only Speech, – sentences or propositions (mostly logicians; Thomas Hobbes, too).

The key words to explain true knowledge are: similarity; “adaequatio”; “ordo et coherentia”. Order was longly viewed as proprium of quality (for ex., by Boetius: “due to it we attest things as similar or non-similar to the other”). In ontology, consciousness is defined as genetically ideal=non-material. In gnoseological aspect, cognition is seen as genetically true. Truth is ideal mental image, and it possesses all qualities of the kind: presentation and objectiveness. Specific definitive characteristics of such image is its ability to present and transfer “ordo et coherentia” of essential qualities and relations of the object reflected.

Now to the “number of truth”. To obtain it we should make use of mathematical theory of rows, or series, of numbers, U1, U2, U3,… Un,… They are summed up as follows:

S1 = U1 

S2 = U1+U2

S3 = U1+U2+U3

Sn = U1+U2+U3+… Un

If the series is unlimited by some finite number, it has got no definite general sum Sn. Then the row is divergent, or dispersing, like in 1 + 2 + 3 + 4 + … + n +…

Here S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, … Sn = n(n+1)/2, …

If Sn is a limited finite number, the series is concentrating, or meeting; e.g.,

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + (1/2)n+1 + … – is not dispersing, but meeting and concentrating on one certain number:

S1 = 1,  S2 = 11/2,  S3 = 13/4, … Sn = 2·(1/2)n-1, …  here limSn = 2 (by n → ∞); it might be reconed as a target or rather Aristotelian “telos” of the whole series.

If the series has no limit at all it is called indefinite: e.g.,1 – 1 + 1 – 1… + (–1)n+1 + …

The utmost judgement runs as follows.

The series in which the general member Un → 0 can both disperse and meet (concentrate):

·   the normal row:  1 + 1/2 + 1/4  + 1/8  + … (1/2)n–1 +  – is concentrating;

·   the harmonious row: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +… – is dispersing though its general member Un → 0;

S2 = 1 + 1/2 = 3·1/2,

S4 = S2 + (1/3 + 1/4) > 1/2 + (1/4 + 1/4) = 4·1/2,

S8 = S4 + (1/5 + 1/6 + 1/7 +1/8) >1/2 + (1/8 +1/8 +1/8 +1/8 ) = 5·1/2,

S16 = S8 + (1/9 + 1/10 + … + 1/16) > 6·1/2    etc.

·   but: the derivative row obtained from harmonious row by changing the sign of even numbers from plus to minus:  1 1/2  + 1/3 1/4 + 1/51/6 + 1/7 … – is concentrating (!) This very series of numbers depicts the “fan-like” movement of approximation, or adjustment, to a certain target point (“telos”). And its Sum is 0,693...

 

 

S1 = 1, S2 = 1/2,  S3 = 5/6,  S4 = 7/12,  S5 = 47/60,  S6 = 37/60...

                                                                            S

0______________________S2_____S4__S6__________S5___S3___1

0,1…                                     0,5            0,6             0,693…       0,8    0,9

Every even number S2, S4, S6... moves right and every odd number S1, S3, S5... moves left, and in the end they meet in the certain S-point. Bingo. The goal. The absolute true knowledge about concrete object found.

We should remember though, that point S2n and point S2n+1 infinitely come close together: S2n+1 S2n = 1/2n+1 → 0 by n → ∞. The process of cognition is really endless... But the model itself of seeking and finding the target-object seems most valid. And this can be presented as PHILOSOPHICAL TRUTH IN MATHEMATICAL TERMS.

Now to PHILOSOPHICAL TRUTH IN LITERATURE ANALOGIES.

One of the most sophisticated and intricate writers of the XX century Gorge Luis Borjes in his famous postmodern work “Fictious Stories. Tløn, Ukbar, Orbis Tertius” created the planet (Tløn by name) where reality and probability exchange places. But the main metaphor of the story, analogous, say, to opera glasses, can serve as interpretation of our model of truth-approximation, both as process and result.

“Many centuries of idealism didn’t fail to influence reality. In most ancient regions of Tløn cases of lost things reduplication are not rare. Two people are looking for the /lost/ pencil; the first of them finds it and says nothing; the second man finds another pencil, no less real but better fit for his expectations. These secondary objects are called hrønirs.

Curious fact: in hrønirs of second and third degree, i.e. in hrønirs derived from other hrønirs, – intensive distortion of the base hrønir is noted; hrønirs of the fifth degree are nearly similar to it; hrønirs of the ninth degree one can easily mix up with the second; and in hrønirs of eleventh degree one can observe the perfection of siluette missing by the base hrønir. The process is periodic: hrønir  of the twelvth degree demonstrates change for the worse”. Thus we find in the eleventh hrønir the very “eidos” of the pencil, as we could put it according to Plato’s terminology and metaphysics. Next degrees worsen it and bring it back to the base rough thing.

Opera glasses precisely pointed at the object at one other small turn begin to drive off from the true image, the picture blurs, diffuses and becomes vague... The purity of eidos vanishes, the line becomes the stripe, the field, the sea... The border fades down, the limits languish, the terms melt, and from the strongly fixed point as true as truth and as steady as the Polar star we swim away through the mist of eternity to the fogs of infinity.

But then, the pendulum always sways back...

Closer and closer to the crucial point; and, getting there, we say: this I know for certain.

This is truth.

Thank you.

Emily Tajsin.

 

 

 

 



[1] Truth – [ME trouthe, fr. OE trēowth, fidelity; akin to OE trēowe, faithful]; True – [ME trewe, fr. OE trēowe, faithful; akin to OHG gitriuwi, faithful; Skt dāruna, hard; dāru, wood]; Tree – [ME, fr. OE trēow; akin to ON trē, tree, Gk drys, Skt dāru, wood]… Webster’s Seventh New Collegiate Dictionary. Springfield, Mass., USA.

 

 



1. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1977. § 368.

2. Термин связан с математикой Пифагора и его учением о мировой гармонии, или «музыке сфер». Струна при делении её на 2, 3, 4, … равные части дает звуки, гармонирующие с основным тоном.

3. Хорхе Луис Борхес. Вымышленные истории. Тлён, Укбар, Орбис Терциус.

Соч. в 3-х т. Т.1.