|
|
Секция “Метафизика” Философское осмысление топологического комплекса Пуанкаре Попков Валериан,
Батурин Андрей
АНО Международный институт Александра
Богданова
Екатеринбург, Россия
|
|
|
|
Целостность и двойственность – вокруг
этих понятий разворачивалась главная
интеллектуальная интрига XX века. Впрочем, для философии она была главной во все
времена. Но в XX веке
двойственность перестала быть достоянием только философии – волна и
корпускула, наблюдаемость и
достижимость, функция и структура,
рынки и институты, ресурсы и проблемы, товары и услуги, - двойственные
пары рождались и рождаются одна за другой. Уже в XIX веке подобного
материала было накоплено много, но привычное теоретизирование вязло в
антиномиях. Например, в теоретической механике к тому времени
сосуществовало два равноправных и взаимоисключающих способа описания механических систем:
силовой (потенциальный) и инерционный (кинетический). Первый способ описывал
движение системы, как движение к равновесию, к минимуму потенциальной
энергии, как распространение
напряжений, сил, преодолевающих заданную инерционность материала системы.
А второй способ описывал движение системы как чисто инерционное движение по «наипрямейшей»
траектории, какую только допускают связи между частями системы, искривляющие
это движение (знаменитая
"механика без сил" Г.Герца). Аналогичным образом дело обстояло и в
других областях; например, в экономической теории тогда зародилось и до сих
пор продолжается противостояние между двумя её вариантами - «рыночной» и
«институциональной», и оба претендуют на исчерпывающее представление
экономической реальности. Философия, разумеется, предлагала теоретикам свои рецепты
исцеления, но решающее событие, на наш
взгляд, произошло не в философии, а в математике. Более ста лет назад
родоначальник математической топологии
Анри Пуанкаре [1] придумал свой
«клеточный комплекс» с исчерпывающим набором топологических инвариантов и
предложил простую регулярную процедуру его двойственного обращения. Сегодня приходится признать, что
общенаучный, мировоззренческий
потенциал идей А.Пуанкаре, его программа до сих пор остается
нереализованной. Клеточный
комплекс представляет собой скопление «клеток» разных размерностей: 0-мерные узлы, 1-мерные линии (ветви), 2-мерные куски
поверхностей, 3-мерные объемы и т.д. Клетки низших
размерностей примыкают к старшим клеткам, образуя их грани, границы: ветви ограничены
узлами, поверхности – ветвями, объемы
- поверхностями, и т.д. Клетки
одинаковой размерности примыкают друг к другу по общим граням, образуя цепи. Совокупность (группа) всех цепей
данной размерности образуют
соответствующий структурный уровень комплекса. Ключевую роль в
топологии играют замкнутые цепи или циклы. В особенности важны те из них,
которые не обрамляют никакую старшую клетку, «не затянуты» никакой «пленкой»,
циклы с «дыркой» посередине. Наличие и
число таких циклов на данном структурном уровне - важнейший топологический
инвариант комплекса. Посмотрим
теперь, какое это имеет отношение к действительности. Мир – это
многомерный процесс, состоящий из локальных процессов, примыкающих друг к
другу. Вот течет полноводная река, -
она 3-х-мерна, но для пилота самолета она предстает в виде 2-мерной
водной ленты. Гидрогеолог исследует 2-мерный рельеф дна. Поверхность и
дно сходятся, образуя прибрежную линию (1-мерную). Также 1-мерны мелкие притоки, отводные
каналы, трубы водоснабжения. Нульмерны точки
водозабора и узлы водопроводной сети. А есть еще рыбные запасы, популяции
животных и птиц в пойме реки, солевой
состав воды, и т.д. Есть экономическая сторона речного хозяйства – товарные,
финансовые потоки, связанные с рекой. Но вот, весь этот многомерный процесс
впадает в море, разливается водной гладью и начинает активно испаряться.
Отсюда стартует новый процесс – перемещения водных испарений в атмосфере, которые заканчиваются дождями
в верховьях реки. Так, является цикл,
а вместе с ним целостность - река. Почему цикл – синоним целостности? 1. Потому что цикл разрешает так
называемый «парадокс целостности», поскольку он, как и всякая
целостность, в отличие от просто
системы, инвариантен по отношению к своим частям. У реки могут появляться
новые притоки, или исчезать старые,
возникать плотины и искусственные моря. Река может распасться на
несколько несвязанных речек, наконец, она может
высохнуть, съёжившись до ручейка в истоках, но до того момента, пока
не разомкнулся фундаментальный цикл, она не потеряет своего качества реки.
2. Цикл разрешает также «парадокс
развития», поскольку представляет не только саму целостность в ее полном
развитии, но и «элемент» целостности, ее клеточку, зародыш, в котором целостность находится в «свернутом» виде. 3. Наконец, потому что перед нами уже не одноразовое
явление, а возобновляющийся, бесконечно продолжающийся процесс,
воспроизводящий условия своего существования. Циклы, очевидно, имеют универсальное
значение. У Гегеля, циклы - ключевая логическая конструкция. Качественная
определенность вообще в гегелевской логике имеет явно циклическое
происхождение, как и всякая «истинная бесконечность». Нечто налично
существующее становится
качеством, приобретает для-себя-бытие только во взаимодействии с другим. Можно утверждать, что набор качественных
определенностей на каждом структурном уровне целостности соответствует набору
циклов, циркулирующих на этом уровне. Собственно, циклы и формируют
промежуточный структурный уровень целостности, позволяя некоторому частному
процессу длительно функционировать в рамках данного уровня без провалов на
«нижние этажи» и без постоянной апелляции к более сложным процессам. Это как раз и есть циклы,
которые в математике называют негомологичными нулю. Если таких циклов на данном уровне нет, то
это означает, что этот структурный уровень не состоялся, он как бы выпал из
структуры здания сущего. Говоря об «этажах», следует подразумевать движение ко все более комплексным, конкретным процессам, где мы не
можем отвлечься от каких-то его сторон.
Скажем, исследование биосферы шло примерно так: сначала она
представлялась в виде множества популяций,
завязанных в пищевые цепи. Пищевые цепи замыкались в рамках леса или степи,
так биосфера распалась на лесные,
степные, речные биоценозы, которые казались средоточием сложности,
многомерности биосферных процессов.
При этом внешние связи – между соседними биоценозами, между биоценозом и
почвенными и атмосферными процессами – считались несущественными, на порядок
более простыми. Позже в биоценозы стали включать
процессы почвообразования и газообмен
между атмосферой, зеленой массой и почвой – биоценозы модифицировались,
меняли конфигурацию, состав, сдвигались границы, Потом Вернадский обратил
внимание на многотонные тучи саранчи и на известковые морские отложения и
понял, что биопроцессы являются значимым геологическим фактором. С тех пор
основным строительным блоком биосферы стали еще более многомерные и обширные
- биогеоценозы. Они примыкают
друг к другу, разрезая своими границами толщу биосферы между безжизненными глубинами земной коры (литосферой),
с одной стороны, и безжизненной стратосферой, с другой. Видимо, многомерная сфера – это вообще
идеальная модель целостности. Это естественная конструкция, которая является одновременно
и замкнутой, и открытой, у нее нет «края», она не нуждается в «окружающей
среде», все, что нужно для ее определения она содержит в себе самой. Движение исследователя вглубь, ко все более сложным процессам оказывается движением в
рамках сферы, которая обогащается новыми измерениями, оставаясь при этом
сферой. Конечно, имеется в виду не
именно сфера в прямом смысле, а широкий класс замкнутых многомерных
поверхностей (математики их называют замкнутыми многообразиями). Итак, именно замкнутые многообразия, на
наш взгляд, наиболее адекватно моделируют целостность, как «в целом», так и
на каждом ее структурном уровне. И надо думать, гениальный основатель
алгебраической топологии, конструируя этот объект, имел в виду не только математические резоны. В пользу этого
предположения говорит и тот факт,
что Пуанкаре не ограничился темой
целостности, то есть не ограничился исследованием циклической структуры своего комплекса, но и столь же
основательно, раз и навсегда разрешил на его основе проблему двойственности,
многократно умножив тем самым идейный и эвристический потенциал всей своей
программы. Речь идет о знаменитой теореме двойственности Пуанкаре для
замкнутых многообразий. Возьмем какую-нибудь цепь, например
электрическую, и посмотрим, как в ней распространяются токи и потенциалы (напряжения). Токи в двух смежных ветвях i1
и i2 балансируются в узле, - в нем будет
накапливаться заряд, если сальдо притока и оттока (i1 - i2)
больше нуля, или наоборот разряжаться,
если сальдо отрицательное. Так осуществляется
связь между двумя токами в ветвях. Иначе обстоит дело с потенциалами
(напряжениями). Если узел обладает электрическим потенциалом e1,
то этот потенциал распространяется на все ветви, примыкающие к узлу, на
звезду ветвей, как романтично выражаются математики. И если некая ветвь связывает два таких
узла, то в ней возникает «напряжение», разность потенциалов (e1-e2).
То есть ветвь несет в себе разность потенциалов, полученных от узлов. Тогда
как в случае токов, наоборот, узел несет в себе разность токов,
полученных от ветвей. Другой пример. Высотный потенциал горного озера сообщается в равной мере всем рекам,
большим и малым, текущим в долину. А вот
потоки этих рек, напротив, делят между собой общий сток из озера, а в
сумме они балансируются с суммарным притоком в
озеро воды из атмосферы и ледников. Вообще, потоки балансируются на
структурных элементах низшей
размерности, на своих нижних
границах, как говорят математики
(смежные потоки
размерности r балансируются
на структурных элементах размерности r-1). Эту особенность мы и предлагаем
считать родовым признаком, по которому та или иная сущность может быть отнесена к категории поток. Причем сущность эта не
обязательно физическая, возможно, это распространение слухов или даже «поток
сознания» и т.п. Для потока характерен тот или иной вариант принципа
сохранения массы, вещества, объема, количества, это внешнее движение вообще. Потенциалы, наоборот, распространяются на
свои верхние границы и балансируются на них. Так
распространяется напряжение, сила, давление, так предъявляется потребность, так, видимо, являет себя субъектность вообще.
Теперь можно рассматривать нашу
целостность - мир с двух точек зрения: как поток и как потенциал. И
развертываться эти две картины – мир напряженный и мир кинетический – будут в
противоположных направлениях. Потоки
структурируются, координируются в направлении понижения размерности
структурных уровней. От целого к частям, от конкретного к абстрактному,
из глубины к поверхности. Это направление дифференциации целого. Потенциалы координируются в обратном направлении, по возрастанию
размерности, через структурные элементы высших размерностей. Через напряжения
мир собирается, интегрируется, сращивается, “конкретизируется”. Это и
понятно: дифференцированные части пытаются разлететься, связи между ними
напрягаются и возвращают их к целому. Двойственной становится и циклическая структура
целостности. Циклы первого рода – это замкнутая «эквипотоковая»
цепь, сбалансированная в узлах, вихревой поток в недрах целостности. Потенциалы, напряжения тоже замыкаются в
циклы, но, в отличие от потоков,
они замыкаются через высшие
структурные уровни целостности, образуя циклы второго рода («коциклы», - называют их математики) – это «обручи», в
рамках которых уравновешиваются внутренние напряжения целостности. Следует
понимать, что перед нами один и
тот же комплекс процессов, которые теперь предстают в двух ипостасях - как потоки и как напряжения. Эти ипостаси
живут вполне самостоятельной жизнью, выстраиваясь и образуя совершенно разные структуры, будучи тесно
сопряжены в рамках целого. «Обруч»
стягивает разбегающиеся потоки, замыкая их в «вихрь». И, наоборот, каждый
замкнутый поток замыкает круг
потенциалов. Причем
оказывается, что «вихрь» и «обруч», цикл и коцикл
в каждой паре обитают на разных структурных уровнях целостности, а именно на
уровнях «дополнительных размерностей». Доказательству этого далеко не
очевидного утверждения и посвящена
теорема двойственности Пуанкаре. Она
утверждает, что если полная размерность замкнутого многообразия равна n, то каждому циклу размерности r соответствует коцикл
размерности n-r. Физика дает множество примеров сопряжений
потоков и потенциалов в дополнительных размерностях. Вихревой ток,
циркулирующий в плоскости (2-мерный) создает электрическое напряжение в
проводнике (1-мерном), протыкающем эту плоскость. Или, наоборот, вихревое
магнитное поле вокруг проводника с током. В регуляторе Уатта круговое
движение приводит к сжатию центральной пружины. Или вернемся к нашей реке – выделим в ней
одномерный линейный поток, который
пронизывает 2-мерные эквипотенциальные поверхности, секущие ландшафт
по горизонтали, своего рода витки сжатой гравитационной пружины, толкающей
поток в низину. И если поток оказался замкнутым (состоялся одномерный цикл),
то это значит, что где-то возник восходящий поток, который, преодолевая
гравитацию, поднимает воду наверх к потенциальному полю с обратной
напряженностью. То есть перед нами двумерный коцикл.
Экономические и политические реалии глобального
мира еще предстоит систематизировать на этом основании. Страны и региональные
союзы, разделяющие их границы, - дуги нестабильности и возникающие в их
составе узлы напряженности. Военно-политические, экономические,
климатические, экологические потенциалы стран и регионов. Внутренние рынки и
трансграничные торговые потоки. Мировая система разделения труда, глобальные
циклы товаропотоков и коциклы
региональных потенциалов и напряжений политических и экономических союзов. Таким нам представляется проблемное поле
для программы Пуанкаре, стартовавшей
более ста лет назад. Ссылка 1. H. Poincaré Analisis
Situs. Journ. Ec. Pol. , 1895 |
|
|
|
Philosophic Conception of Poincaré
Topological Complex
Popkov Valerian
Baturin Andrey,
АNО International A.Bogdanov
Institute,
president.ibi@mail.ru
Wholeness
and duality – these concepts have become the center of main intellectual
intrigue of XX century. Though it always was crucial for philosophy. But in
XX century duality ceased being the realm of philosophy only – wave and
corpuscle, observability and accessibility, markets
and institutions, recourses and problems, goods and services, - dual pairs
appeared and still appear one after another. A lot of such material was already collected
in XIX century, but habitual theorizing sank in antinomies. For example, by
that time theoretical mechanics had involved two equivalent and alternative
ways to describe mechanical systems: force (potential) and inertial (kinetic) ones. The
first way described the system motion as an advance towards equilibrium,
towards minimal potential energy, as distribution of stress, force, overcoming
the given inertia of the system material. The second way described the system
motion as a mere inertial movement along “the straightest” possible path,
allowed by connections between parts of the system, curving that movement. (Famous “Forceless Mechanics” by H. Hertz). Similar
was the situation in other fields; for example, at that time in economics
there occurred and is still in force an opposition between its two variants –
“market” and “institutional” ones, and
both claim to give an exhaustive idea of economic reality. Of course,
philosophy offered theorists its own panacea, but, we believe, the crucial
event took place in mathematics, not philosophy. More than a hundred years
ago Henry Poincaré, the founder of
mathematical topology, invented his “cellular system” with full set of
topological invariants and suggested a simple regular procedure of its dual
inversion. Today we
have to admit, that general scientific and vision potential of Poincaré’s ideas, his program still stay
unrealized. The cellular system represents an aggregate of “cells” of different
dimensions: 0-dimension nodes,
1-dimension lines (branches), 2-dimension pieces of surfaces, 3-dimension
volumes and so on. Cells of lower dimensions adjoin the higher ones, shaping
their facets, borders: branches are bounded with nodes, surfaces – with
branches, volumes – with surfaces, and so on.
Cells of the same dimension side with each other at common sides,
constructing chains. An aggregation (a group) of all chains of the given
dimension creates a corresponding structural level of the system. The key role in topology is given to closed circuits and cycles.
Especially important are those, not shaping any higher cell, not covered by
any “skin”, cycles with a “hole” in the middle. The presence and the number
of such cycles at the given structural level is the most important
topological invariant of the system. Let’s see now, how it refers to reality. The world – is a multi-dimensional process, consisting of local
processes, adjoining one another. Let’s take a rive,
for example, - it is 3-dimensional, but a pilot of a plane see it as
2-dimensional water ribbon. Hydrogeologist examines
a 2-dimensional bottom topography. The top and the bottom meet, making up a
costal line (1-demensional). Small afflux, branch ducts, water pipes are also
1-dimensional. Water intake points and water main nodes a 0-dimensional. And besides,
there are fish resources, birds and animals populations
in the high-water bed, water salt formula, etc. There is an economic aspect
of river economy – goods and financial flows, associated with the river. Finally,
the whole multi-dimensional process flows in the sea, spread over the water
surface and starts to actively vaporize. And a new process begins – movement
of water reeks in atmosphere, which ends with rains in riverhead. Thus, here
comes the cycle, along with the wholeness – the river. Why we put
the cycle as a synonym for the wholeness? 1. The
cycle resolves the so called “wholeness paradox”, for, just like any wholeness,
it is invariant to its parts, as opposed to a mere system. A river can get
new afflux, or loose old ones, there may arise dams and artificial seas. A
river can fall to several separate rivulets, after all, it can dry out to a
tiny brook, but unless the fundamental cycle is broken, it wouldn’t loose its
merits as a river. 2. The
cycle also allows the “progress paradox”, as it represents not only the
wholeness itself in its full growth, but an “element” of the wholeness as
well, its cellule, embrio, where the wholeness
takes its folded form. 3. And
finally, we no longer have a single event, but a recommencing, infinitely
lasting process, reproducing its own environment. Cycles
evidently have a universal value. According to Hegel, the cycles are the key
logical structure. The qualitative determinacy in Hegel’s logics has purely
cyclic origin, as does any “true infinity”. Something available becomes a
quality, acquires its self-being only interactively with other. We may assert, that a set of quality determinacies
at each structural level of the wholeness corresponds to a set of cycles,
circulating at this very level. Notably, the cycles form an intermediary
structural level of the wholeness, allowing some individual process to
continuously operate in the frame of given level with neither downfalls to
“lower floors”, nor constant appeal to more complicated processes. These are
the cycles, which mathematics considers nonhomologous
to zero. If there are no such cycles at a given level, it means, that the structural
level is not consistent, as if it has fallen out from the structure of
existence. Speaking of “floors” we
mean advance towards still more complex, exact processes, where we cannot
distract from any of their aspects. For
example, biosphere analysis proceeded as follows: first it occurred as a set
of populations, connected in food chains. The food chains closed within a
forest, or a steppe, and thus biosphere broke up into forest, steppe, river biocenoses, which seemed to
be a focus of complexity, multi-dimensionality of biosphere processes. Though
external connections – between neighboring biocenoses,
between biocenosis and soil and atmosphere processes - were
considered negligible and much more simple.
Later biocenoses began to encompass soil formation processes
and gas exchange between atmosphere, verdure and soil – biocenoses
modified, reconfigured, restructured, the borders shifted. Then Vernadsky drew attention to large-tonnage swarm of
locusts and calcareous marine sediments, and he realized,
that bioprocesses were significant geological factor. Since then more
multidimensional and extensive biogeocenoses have
become the basic construction block of biosphere. They adjoin each other,
their edges cutting the biosphere mass between lifeless depth of Earth crust
(lithosphere) from one hand, and lifeless stratosphere from the other. A
multidimensional sphere seems to be a perfect wholeness model. It is a
natural structure, that is both closed and open at the same time, it has no
edges, it needs no “environment”, it encloses
everything to determine itself. When a
scientist penetrates deep into still more complicated processes, he turns out
to move within a sphere, enriching with new dimensions, though still staying
the sphere. Of course, we speak of the sphere figuratively, meaning a wide
range of closed multidimensional surfaces (mathematicians call them closed
manifolds). So, to our
mind, these are closed manifolds that simulate the wholeness most adequately,
both “in whole” and in its every structural level. And we may suppose, that a brilliant founder of algebraic topology
implied not only mathematical reasons, while constructing this object. This hypotheses can be supported by the fact, that Poincaré never restricted himself either to the idea
of wholeness, or to the analysis of the cyclic structure of his own system.
He used it to thoroughly resolve the problem of duality, thus multiplying
many times his own ideological and heuristic backup of the whole program. We
talk about Poincaré Duality theorem for
Closed Manifolds. Let’s take some circuit, for example
an electric one, and see, how currents and potentials (stress) distribute in
it. Currents of two adjacent branches i1 and i2 are
balanced in the node, - where the charge will accumulate, if inflow and
outflow balance (i1 - i2) is positive, or discharge per
contra, if the balance is negative. This how relations between two currents
are realized in branches. The
contrary is the case of potentials (stresses). If a node has electric
potential e1, this potential covers all branches, adjusting the node,
the star of branches, as mathematicians call it. And if there is some branch,
connecting two such nodes, there arise a tension in it, the difference of
potentials (e1-e2). This means, that the branch bears
the difference of potentials, received from the nodes. While in case of
currents, on the contrary, the node bears the difference of currents,
received from the branches. One other example.
An altitude potential of a tarn is equally communicated to all rivers, big
and small ones, running down the valley. While streams of these rivers, per
contra, share the common flow from the tarn, and their total amount balances
with total inflow of water from atmosphere and glaciers to the tarn. Generally,
the flows balance on structural elements of lower dimension, on their lower
boundaries. Mathematically speaking, adjacent flows of r-dimension balance on
structural elements of r-1 dimension. We suggest to
consider this peculiarity a generic feature, that can attribute some
matter to the flow category. The matter should not necessarily be physical,
but circulation of rumors and even flow of consciousness as well. The flow is
characterized by some variant of the principle of conservation of mass, substance,
volume, quantity – it is an external motion in general. Potentials,
on the contrary, spread to their upper boundaries and balance there. This is
how stress, force, pressure distribute, how need is produced, how
subjectivity is shown in general. Now we can
consider the wholeness – the world from two points of view: as a flow, and as
a potential. And these two points – the stressed world and the kinetic world
- will develop in opposite directions. The streams are structured and
coordinated towards decrease of structural level dimensions. From the general
to the particular, from the concrete to the abstract, from the depth to the
surface. This is the direction of differentiation of the whole. Potentials are coordinated
in the opposite direction, with increase of dimension, through structural
elements of higher dimensions. The world is gathered, integrated, joined, specified through stresses. It is obvious: differentiated
parts tend to scatter, connections between them
strain and turn them back to their whole. The cyclic
structure of the wholeness also becomes dual. Cycles of the first kind – is a
closed “equiflow” circuit, balanced in nodes, a
vortex flow into interior of the wholeness.
Potentials,
stresses are also closed to cycles, but unlike flows, they close through
higher structural levels of the wholeness, producing cycles of the second
kind (“co-cycles”) – these are “hoops”, which balance internal stresses of
the wholeness within itself. We should realize, that it is one and the same complex of processes,
which now are seen in two forms – as flows and as stresses. These forms are
quite independent, they produce absolutely different
structures, being closely conjugated within the whole. The “hoop” tightens
the scattering flows, closing them to the “vortex”. And vice versa, each
closed flow closes the circle of potentials. As it turns out, “the vortex”
and “the hoop”, the cycle and the co-cycle in each pair occur at different
structural levels of the wholeness, namely, at the levels of “complementary
dimensions”. Poincaré duality theorem is
devoted to the prove of this statement, far from
being obvious. It states, that if total dimensions of the closed manifolds is
n, each r-dimension cycle corresponds to a co-cycle of n-r dimension. Physics
provides a lot of examples of conjugating flows and potentials in
complementary dimensions. Eddy current, circulating within the plane
(2-dimension), produce voltage in conductor (1-dimension), penetrating this
plane. Jr, vice versa, vortex magnetic field occurs
around conductor with current. In Watt regulator a circulation results in
compression of the central spring. If we come
back now to our river – let’s single out 1-dimension linear flow, which
penetrate 2-dimension equipotential surfaces,
cutting the landscape horizontally, just like coils of compressed
gravitational spring, pushing the flow to the bottomland. And if the flow
turned out to be closed (1-dimensional cycle took place), it means, that
somewhere there arose an upward flow, which, overcoming gravitation, push
water upwards to potential field with an opposite intensity. Here we have a
2-dimension co-cycle. Economic
and political realities of the global world are to be systematized on this
basis in future. Countries and local unions, their borders, - instability
arcs and voltage nodes, occurring within them. Military and political,
economic, climatic, ecological potentials of countries and regions. National markets
and transboundary trade flows. The world system of labour division, global cycles of trade flows and
co-cycles of regional potentials and tension of political and economic
alliances. That is
how we see the problem field for the Poincaré
program, started more than a hundred years ago. Reference H. Poincaré
Analisis Situs. Journ. Ec. Pol.
, 1895 |
|